Distribución Muestral

INTRODUCCION En los estudios de Estadísticas realizados en esta clase, hemos centrado nuestra atención en técnicas que describen los datos, tales como organizar datos en distribuciones de frecuencias y calcular diferentes promedios y medidas de variabilidad. Estábamos concentrados en describir algo que ya ocurrió. También comenzamos a establecer los fundamentos de la estadística inferencial, con el estudio de los conceptos básicos de la probabilidad, las distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribuciones que son principalmente generadas para evaluar algo que podría ocurrir. Ahora veremos otro tipo de distribución de probabilidad, que se llaman distribuciones muéstrales. INTRODUCCION ¿Por qué muestrear? Muestrear es una forma de evaluar la calidad de un producto, la opinión de los consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. Muestra es una parte de la población. Población es el total de resultados de un experimento. Hacer una conclusión sobre el grupo entero (población) basados en información estadística obtenida de un pequeño grupo (muestra) es hacer una inferencia estadística. A menudo no es factible estudiar la población entera. Algunas de las razones por lo que es necesario muestrear son: 1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas 2. La imposibilidad física de checar todos los elementos de la población. 3. El costo de estudiar a toda la población es muy alto. 4. El resultado de la muestra es muy similar al resultado de la población. 5. El tiempo para contactar a toda la población es inviable. Distribución Muestral de las Medias El ejemplo de los ratings de eficiencia muestra como las medias de muestras de un tamaño específico varían de muestra a muestra. La media de la primera muestra fue 101 y la media de la segunda fue 99.5. En una tercera muestra probablemente resultaría una media diferente. Si organizamos las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2 en una distribución de probabilidad, obtendremos la distribución muestral de las medias. Distribución muestral de las medias. Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias muestrales, de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una población. El siguiente ejemplo ilustra la construcción de una distribución muestral de medias. Ejemplo. Tortas “Don Pepe” tiene 5 parrilleros (población), a los cuales se les paga por hora según su trabajo. Las percepciones de los parrilleros son las siguientes: Parrillero Percepción por hora Adrián $ 9.00 Bitia $ 8.00 Carmen $ 8.00 Diana $ 8.00 Enrique $ 7.00 1. ¿Cuál es la media poblacional? 2. ¿Cuál es la distribución muestral de las medias para una muestra de tamaño2? 3. ¿Cuál es la media de la distribución muestral? 4. ¿Qué observaciones se pueden hacer con respecto a la población y a la distribución muestral? Solución. 1. La media poblacional son: µ = 9 + 8 + 8 + 8 + 7 = 8.0 5 2. Para construir la distribución muestral de las medias, Las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2 son calculadas y son las siguientes: Muestra Parrilleros percepciones Media de la muestra 1 A – B 9.00 8.00 8.50 2 A – C 9.00 8.00 8.50 3 A – D 9.00 8.00 8.50 4 A – E 9.00 7.00 8.00 5 B – C 8.00 8.00 8.00 6 B – D 8.00 8.00 8.00 7 B – E 8.00 7.00 7.50 8 C – D 8.00 8.00 8.00 9 C – E 8.00 7.00 7.50 10 D - E 8.00 7.00 7.50 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS para n = 2 Media muestral Número de medias Probabilidad 7.50 3 0.3 8.00 4 0.4 8.50 3 0.3 Σ 10 1.0 3. La media de la distribución muestral de medias es: Los histogramas de la distribución de probabilidad de la población y de la distribución muestral de medias son: 4. Se pueden hacer las siguientes observaciones: a. La media de las medias muestrales es igual a la media de la población. b. La dispersión de las medias muestrales es menor que la dispersión en la población c. La forma de la distribución muestral presenta un cambio respecto a la forma de la población. Teorema del Límite Central El tamaño de la población y el tamaño de la muestra en los problemas anteriores son intencionalmente pequeños para enfatizar dos conceptos: (1) La media de las medias muestrales es exactamente la misma que la media de la población y (2) que la forma de la distribución de las medias muestrales no es necesariamente igual que la forma de la distribución. Las siguientes gráficas corresponden al ejemplo anterior, note como la forma de la distribución de la población no es igual a la forma de la distribución muestral. La distribución muestral de las medias se aproxima mucho a una distribución normal. Si la población está normalmente distribuida, la distribución muestral de las medias también estará normalmente distribuida. En el primer problema (ingresos de los parrilleros) la forma de la distribución de la población es aproximadamente normal y la forma de la distribución muestral también es aproximadamente normal. Estas son las bases del teorema del límite central, uno de los más importantes teoremas en estadísticas. Teorema del Límite Central. Para una población con una media µ y una varianza σ², la distribución de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n generadas de la población estarán distribuidas de forma aproximadamente normal asumiendo que el tamaño de la muestra es suficientemente grande. Con relación al teorema del límite central debemos enfatizar en: 1. Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande (n > 30) la distribución normal de las medias será aproximadamente normal. No importa si la población es normal, sesgada u uniforme, si la muestra es grande el teorema se aplicará. 2. La media de la población y la media de todas las posibles muestras son iguales. Si la población es grande y un gran número de muestras son seleccionadas de esa población entonces la media de las medias muéstrales se aproximará a la media poblacional. 3. La desviación estándar de la distribución muestral de las medias, a la que llamaremos error estándar, es determinado por 4. Ejercicios 1.- Dado los siguientes datos; en una población de 8 personas, se tiene las siguientes características: Personas Dinero Efectivo 1 CARLOS 10.00 2 JOSÈ 80.00 3 MIGUEL 70.00 4 MARIA 20.00 5 ALEX 20.00 6 PEDRO 30.00 7 EMILY 50.00 8 FRANKLIN 60.00 1) Hallar las Distribuciones muéstrales de las medias para: a) n= 3, b) n= 4, c) n= 5, d) n= 6. 2) Calcular la media y la Desviación de cada Distribución muestral y comparar y concluir.